Андрей Давыдов в 1983 году окончил Театральный институт имени Бориса Щукина (мастерская народного артиста РСФСР Юрия Катина-Ярцева).
За годы актёрской карьеры Андрей Давыдов сотрудничал с Театром сатиры, театром «Et Cetera» под руководством Александра Калягина, театром «Чеховская студия», театром «Открытая история», Театром импровизации Олега Киселева, Всероссийскими творческими мастерскими, Активным театром, Тульским академическим театром драмы, театром «Модерн». Среди режиссёров, с которыми работал артист, — Юрий Грымов, Михаил Зоненштраль, Сергей Коковкин, Владимир Байчер.
В репертуаре Андрея Давыдова — роли в пьесах Уильяма Шекспира, Сэма Шепарда, Поля Клоделя, А. Н. Островского, А. П. Чехова и многих других. Диапазон образов, созданных артистом, очень широк: от сурового князя Николая Болконского в «Войне и мире» до ироничного и нелепого Ломова в «Женитьбе». Артист одинаково убедителен как комическом, так и в трагическом амплуа.
В 2014–2025 годах Андрей Давыдов был руководителем и режиссёром Мастерской драматических импровизаций. В проектах Мастерской он исполнил роли Акакия («Шинель Акакия» по Н. В. Гоголю), Фрэнка («Жизнь не имеет сюжета» по Чарльзу Буковски), Циолковского («Концерт Циолковского») и других.
В 2025 году Андрей Давыдов присоединился к труппе МХАТа Горького.
